第一部分 專題六 第三講 定點、定值、存在性問題

A 組

1．平面直角座標系中，已知兩點A (3,1)，B (－1,3)，若點C 滿足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →

(O 為原點)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，則點C 的軌跡是( A )

A ．直線

B ．橢圓

C ．圓

D ．雙曲線

[解析] 設C (x ，y )，因為OC →＝λ1OA →＋λ2OB →

，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即

?

??

??

x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得?????

λ

1

＝

y ＋3x

10

，

λ

2＝3y －x

10

，又λ1＋λ2＝1，所以

y ＋3x 10

＋

3y －x

10

＝1，即x

＋2y ＝5，所以點C 的軌跡為直線．

故選A ．

2．過雙曲線x 2

－y 2

15＝1的右支上一點P ，分別向圓C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圓C 2：(x －4)

2

＋y 2

＝1作切線，切點分別為M ，N ，則|PM |2

－|PN |2

的最小值為( B )

A ．10

B ．13

C ．16

D ．19

[解析] 由題意可知，|PM |2

－|PN |2

＝(|PC 1|2

－4)－(|PC 2|2

－1)，因此|PM |2

－|PN |2

＝|PC 1|2

－|PC 2|2

－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.

故選B ．

3．已知F 1，F 2分別是雙曲線x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦點，且|F 1F 2|＝2，若P 是

該雙曲線右支上的一點，且滿足|PF 1|＝2|PF 2|，則△PF 1F 2面積的最大值是( B )

A ．1

B ．43